Optimalfilter sind (LTI-) Systeme, die eine (angepaßte) Übertragungsfunktion derart besitzen, daß ein additiv gestörtes Nutzsignal möglichst sicher zu detektieren ist. Nach dem Modell in Abbildung 3 benennen wir mit das determinierte Signal (der Gesamtenergie ) und mit weißes Rauschen der spektralen Leistungsdichte , welches auf dem Übertragungskanal induziert wird.
Das Optimierungsproblem besteht nun darin, zum Abtastzeitpunkt das Verhältnis von Momentan-Nutzleistung zur Rauschleisung am Ausgang zu maximieren. Dabei ist (nach Formel 53, Abschnitt 4.2) die Störleistung genau die Autokorrelationsfunktion .
Zuerst drücken wir durch die (für LTI-Systeme37 typische) Faltung von mit der Impulsantwort aus.
Die Rauschleistung kann z. B. ermittelt werden, indem man ausgehend von Formel 60 ff. bestimmt. Führt man die gesamte Berechnung im Zeitbereich durch, dann ist in Verbindung mit der Autokorrelationsfunktion des weißen Rauschens das Ausblendtheorem der DIRAC-Funktion hilfreich einzusetzen.
Bringen wir nun beide Zwischenergebnisse zusammen
und erweitern den Bruch noch um , welches mit der Substitution in übergeht.
Etwas umsortiert (und gesichtet) ist festzustellen, daß hier der Korrelationskoeffizient nach Formel 29 in der zeitlichen Form für Energiesignale
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zwischen und enthalten ist.
Wie wir aus Abschnitt 2.3.5 wissen, ist der Korrelationskoeffizient dann am größten, wenn beide Funktionen linear abhängig sind, also gilt. Durch FOURIER-Transformation dieser Beziehung gelangt man zur Übertragungsfunktion des Optimalfilters im Bildbereich.
Für das Nutzsignal ergeben sich folgerichtig die Beziehungen:38
Die Leistungsbilanz zum Zeitpunkt fällt mit folgendermaßen aus: