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5.2 Optimalfilter

Optimalfilter sind (LTI-) Systeme, die eine (angepaßte) Übertragungsfunktion derart besitzen, daß ein additiv gestörtes Nutzsignal möglichst sicher zu detektieren ist. Nach dem Modell in Abbildung 3 benennen wir mit x(t)  das determinierte Signal (der Gesamtenergie E ) und mit n(t)  weißes Rauschen der spektralen Leistungsdichte Sxx(ω )= S0  , welches auf dem Übertragungskanal induziert wird.


PIC

Abbildung 3: Übertragungskanal mit Optimalfilter


Das Optimierungsproblem besteht nun darin, zum Abtastzeitpunkt t0  das Verhältnis von Momentan-Nutzleistung y2(t0)  zur Rauschleisung am Ausgang zu maximieren. Dabei ist (nach Formel 53, Abschnitt 4.2) die Störleistung genau die Autokorrelationsfunktion φyy(0)  .

 y2(t0)
------⇒  Max.
φyy(0)

Zuerst drücken wir y(t0)  durch die (für LTI-Systeme37 typische) Faltung von x(t)  mit der Impulsantwort      ℱ
h(t)o---o Hopt(jω)  aus.

                     [∫ ∞            ]2
y2(t0)= [(h∗x)|   ]2 =      h(t)x(t0− t)dt
              t=t0      −∞

Die Rauschleistung kann z. B. ermittelt werden, indem man ausgehend von Formel 60 ff. φ  (τ)
  yy  bestimmt. Führt man die gesamte Berechnung im Zeitbereich durch, dann ist in Verbindung mit der Autokorrelationsfunktion des weißen Rauschens φxx(τ) = S0δ(t)  das Ausblendtheorem der DIRAC-Funktion f(t)∗δ(t− t0) = f(t0)  hilfreich einzusetzen.

                                             ∫
φ  (τ)= (h∗h ∗∗φ  )(τ)= S h (τ) ∗h(− τ)|  = S   ∞ h2(t)dt
  yy             xx       0            τ=0   0 − ∞

Bringen wir nun beide Zwischenergebnisse zusammen

  2      [∫∞             ]2
-y-(t0) = --−∞h(∫t)x(t0−-t)dt--
φyy(0)      S0 −∞∞ h2(t)dt

und erweitern den Bruch noch um     ∫∞   2
E =  −∞ x(t)dt , welches mit der Substitution t := t0− t in     ∫
E =  ∞−∞ x2(t0− t)dt übergeht.

         [∫∞             ]2
-y2(t0)-   -−-∞h(t)x(t0−-t)dt-- ∫-----E------
φyy(0) =    S0∫∞  h2(t)dt   ⋅ ∞−∞ x2(t0− t)dt
               −∞

Etwas umsortiert (und gesichtet) ist festzustellen, daß hier der Korrelationskoeffizient nach Formel 29 in der zeitlichen Form für Energiesignale

                    ∫ ∞ x (t)x (t)dt
Corr[x1(t),x2(t)]=  ∘-∫-−∞--1--∫2--------
                    ∞−∞x21(t)dt ∞−∞ x22(t)dt
(63)

zwischen h(t)  und x(t0− t)  enthalten ist.

 2          [∫∞              ]2
y-(t0)-= E--⋅--−∞h(∫u)x(t0−-u)du--⋅∫-----E------ = -E-Corr2[h(t),x(t − t)]
φyy(0)   S0        ∞−∞h2(t)dt       −∞∞x2(t0− t)dt  S0             0

Wie wir aus Abschnitt 2.3.5 wissen, ist der Korrelationskoeffizient dann am größten, wenn beide Funktionen linear abhängig sind, also h(t)= kx(t − t)
          0  gilt. Durch FOURIER-Transformation dieser Beziehung gelangt man zur Übertragungsfunktion des Optimalfilters im Bildbereich.

                ℱ
Hopt = kX∗ e− jωt0o--o kx(t0− t)

Für das Nutzsignal ergeben sich folgerichtig die Beziehungen:38

pict

Die Leistungsbilanz zum Zeitpunkt t0  fällt mit Corr(⋅)= 1  folgendermaßen aus:

y2(t)    E
----0-=  --.
φyy(0)   S0