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5.1 LTI-Systeme

Bei den aus der Systemtheorie her bekannten linearen zeitinvarianten (LTI) Systemen (der Art von Abbildung 1) kann man die Frage stellen, wie ein Zufallsprozeß X(t)  am Eingang auf Y(t)  am Ausgang übertragen wird. Aus Sicht des Ein- und Ausgangssignals X(jω)  bzw. Y (jω )  im Bildbereich wissen wir, daß ein solches System durch die Gleichung

Y (jω )= H (jω )X (jω )

beschrieben werden kann. Dabei ist H(jω)  die komplexe Übertragungsfunktion des Systems im Bildbereich der FOURIER-Transformation. Sicherlich rechtfertigt diese Beziehung auch den durch einfache Variablensubstitution entstehenden Ausdruck Y(− jω )= H (− jω)X (− jω)  oder äquivalent Y ∗(jω) = H∗(jω)X∗(jω)  . Multipliziert man jetzt die Gleichungen für Y(jω)  und Y ∗(jω)  miteinander, dann erhält man den quadratischen Amplitudengang des Systems.

Y(jω)Y∗(jω)  =  H (jω )H∗(jω )X(jω)X ∗(jω )

    |Y (jω )|2  =  |H (jω )|2|X(jω )|2

Berücksichtigt man außerdem, daß

und bildet sowohl links- als auch rechtsseitig mit limT →∞ 1∕T den Grenzwert,

     1       2        2     1       2
Tli→m∞T-|Y(jω)| = |H(jω)| lTim→∞ T-|X (jω )|

so erhält man auf der Grundlage des WIENER-CHINTCHIN-Theorems (Gleichung 57) die Beziehung zwischen den spektralen Leistungsdichten der Ein- und Ausgangsprozesse im Frequenzbereich.

Syy(ω )= |H(jω)|2Sxx(ω )
(58)

Im Zeitbereich ergibt sich daraus bei Anwendung des Faltungssatzes der FOURIER-Transformation

                      {        }
ℱ (−1){S (ω )}= ℱ (−1) |H(jω)|2 ∗ ℱ (−1){S  (ω)}
        yy                               xx

und so für die (zeitinvarianten) Autokorrelationsfunktionen:

          (−1){      2}
φyy(τ )= ℱ      |H (jω )|  ∗φxx(τ).
(59)

Bedenkt man noch, daß die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems gleichzeitig die Fourier-Transformierte der Impulsantwort h(t)  ist,

pict

und immer die Beziehung       2         ∗
|H (jω )| = H (jω )H (jω )  gilt, so kann man (wieder mit dem Faltungssatz der FOURIER-Transformation) Gleichung 59 als zweifache Faltung darstellen.

φyy(τ)= (h∗h∗∗ φxx)(τ)
(60)

Faßt man der Übersichtlichkeit halber noch (h ∗h∗)(τ)  als Energie-AKF φ (E )(τ)
  H  eines stabilen LTI-Systems nach Gleichung 54 zusammen,

                   ℱ
φ(HE)(τ) = (h∗h∗)(τ )o---o S(EH)(ω )= |H (jω )|2
(61)

so erhält man die WIENER-LEE-Beziehung in ihrer geläufigen Form.

φ  (τ)= (φ (E)∗ φ )(τ)
  yy        H    xx
(62)

Sind x(t)  und y(t)  Signale mit endlicher Energie, dann muß man (wie gewohnt) nur die Division durch limT →∞ T überall weglassen, was z. B. aus Formel 58

S(yEy) (ω )= |H(jω)|2S(Exx)(ω )

macht.