Bei den aus der Systemtheorie her bekannten linearen zeitinvarianten (LTI) Systemen (der Art von Abbildung 1) kann man die Frage stellen, wie ein Zufallsprozeß am Eingang auf am Ausgang übertragen wird. Aus Sicht des Ein- und Ausgangssignals bzw. im Bildbereich wissen wir, daß ein solches System durch die Gleichung
beschrieben werden kann. Dabei ist die komplexe Übertragungsfunktion des Systems im Bildbereich der FOURIER-Transformation. Sicherlich rechtfertigt diese Beziehung auch den durch einfache Variablensubstitution entstehenden Ausdruck oder äquivalent . Multipliziert man jetzt die Gleichungen für und miteinander, dann erhält man den quadratischen Amplitudengang des Systems.
Berücksichtigt man außerdem, daß
und bildet sowohl links- als auch rechtsseitig mit den Grenzwert,
so erhält man auf der Grundlage des WIENER-CHINTCHIN-Theorems (Gleichung 57) die Beziehung zwischen den spektralen Leistungsdichten der Ein- und Ausgangsprozesse im Frequenzbereich.
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Im Zeitbereich ergibt sich daraus bei Anwendung des Faltungssatzes der FOURIER-Transformation
und so für die (zeitinvarianten) Autokorrelationsfunktionen:
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Bedenkt man noch, daß die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems gleichzeitig die Fourier-Transformierte der Impulsantwort ist,
und immer die Beziehung gilt, so kann man (wieder mit dem Faltungssatz der FOURIER-Transformation) Gleichung 59 als zweifache Faltung darstellen.
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Faßt man der Übersichtlichkeit halber noch als Energie-AKF eines stabilen LTI-Systems nach Gleichung 54 zusammen,
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so erhält man die WIENER-LEE-Beziehung in ihrer geläufigen Form.
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Sind und Signale mit endlicher Energie, dann muß man (wie gewohnt) nur die Division durch überall weglassen, was z. B. aus Formel 58
macht.