Additionstheoreme

Die Additionstheoreme der elliptischen Funktionen haben grundlegende Bedeutung für viele weitere Formeln. Deshalb haben zahlreiche Mathematiker des 18. und 19. Jahrhunderts, unter anderem A.-M. LEGENDRE, C.G.J. JACOBI, J. LANDEN und C.F. GAUSS, sich mit dem Beweis dieser Gleichungen beschäftigt.¹² Zuerst hat jedoch L. EULER im Jahre 1756/57 das Additionstheorem des elliptischen Sinus’ (EULER-Theorem) bewiesen [WW27, § $22 ⋅2$ ], [Hur00, II-3].

Beweis. Der hier dargelegte Beweis folgt (wie auch [Ach70, § 28]) in wesentlichen Schritten den Ausführungen von J.G. DARBOUX. Als Ausgangspunkt dient dabei die Differentialgleichung der Transformationstheorie (Formel 69 für den Fall $λ = k$ und $M = 1$ ),

für die hier eine Lösung gefunden werden soll. Genauso wie in Abschnitt 4.5 erweist es sich als günstig zur Parameterform des Differentials überzugehen.

dx dy du = ∘------2------2-2-= ∘------2------2-2-- (1− x )(1− k x ) (1 − y)(1− k y )

(41)

Die einzelnen Ableitungen nach $u$ kann man integrieren

und (bei Berücksichtigung der Integrationskonstante $A$ ) Gleichung 41 auch darstellen als:

u − v= A.

Nach diesen einfachen Vorbetrachtungen differenziert man nun das Quadrat der Ableitungen $dx∕du$ sowie $dy∕du$ in den Gleichungen 42 nocheinmal nach $u$ , also folgendermaßen:

Auf dem gleichen Weg gelangt man zu:

2 d-y = y(2k2y2− k2− 1). du2

Stellt man die zuletzt gewonnenen Formeln nach $2 1 + k$ um und setzt sie nach Multiplikation mit $xy$ beide gleich, so erhält man das folgende wichtige Zwischenergebnis

Jetzt soll unabhängig davon der Ausdruck

( dx)2 ( dy)2 y2 --- − x2 --- du du

bestimmt werden. Einsetzen der Ableitungen von 42 gefolgt von Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt zur nächsten Zwischengleichung.

Nun dividiert man Gleichung 43 durch die soeben entwickelte und wendet auf den linken Nenner den binomischen Satz an.

Es ist zu erkennen, daß auf beiden Seiten Zähler und Nenner dem logarithmischen Differentiationssatz $[lnf(u)]′ = f ′(u)∕f(u)$ entsprechen.¹³

( ) d-ln y dx− xdy- = d-ln(k2x2y2− 1) du du du du

Integration nach $u$ und Einsetzen der Differentiale von Gleichung 42 führt zu

also

∘ -----2------2-2- ∘ -----2------2-2- y--(1−-x-)(1−-k-x)-− x-(1-−-y)(1−-k-y-)= C. k2x2y2− 1

Mit $√ ---------------- (1 − x2)(1− k2x2)= cn(u;k)dn(u;k)$ und $√ ---------------- (1− y2)(1− k2y2) = cn(v;k)dn(v;k)$ nach Definitionsgleichung 32 und 30 gilt also:

C = snvcn-udnu-− sn-ucnvdnv-. k2x2y2 − 1

Die Konstante $C$ muß nun aber eine Funktion von $A$ sein, also $C = ϕ(A) = ϕ(u− v)$ gelten. Um die Form von $ϕ$ zu finden kann man z. B. $v= 0$ setzen, was zu $C = sn(u;k)= ϕ(u)$ führt. Also ist die Form von $ϕ$ der elliptische Sinus und somit ist der Beweis auf der Grundlage des folgenden Subtraktionstheorems erbracht.

sn-vcnudn-u−-snucnv-dnv- sn(u− v)= k2x2y2− 1

Die beiden anderen elliptischen Basisfunktionen sind entweder genauso oder aber aus ihren Definitionsgleichungen abzuleiten. Hier wird jedoch darauf verzichtet und statt dessen nur das Ergebnis präsentiert (wobei in den Formeln wieder auf das Modul $k$ verzichtet wird).

Äußerst interessant sind auch die daraus abgeleiteten Relationen¹⁴ für den elliptischen Sinus

die insbesondere in der Transformationstheorie häufig auch in folgender Form anzutreffen sind (mit $sn(K − a)= cna∕ dna$ , vgl. Tabelle 3)

Im Zusammenhang mit den quadratischen Transformationen ist auch folgende Relation interessant

3.7 Additionstheoreme