Erste elliptische Haupttransformation, n gerade

Für gerades $γ = n$ muß die Integrationskonstante $C$ aus Abschnitt 4.5 die reelle Viertelperiode $C = Ω ∕2= M Λ$ annehmen (vgl. auch Tabelle 6),

damit $y= f(x;k)$ eine gerade Funktion und außerdem auf Wegabschnitt $○2$ in Abbildung 8a reell ist. Der zugeordnete Verlauf des Parameters $u$ (inklusive der positiven Nullstellen und Pole) ist dazu nocheinmal anschaulich in Abbildung 16 illustriert.

Der Funktionsverlauf von $y = f(x;k)$ entspricht prinzipiell dem für ungerade $n$ , nur der Funktionswert an der Stelle $x= 0$ ist wegen der Verschiebung entlang der reellen Achse $y= 1$ (siehe Abbildung 17).

4.9.2 Rationale Lösungsfunktion

Aus den wichtigsten Eigenschaften der Differentialgleichung 70 sowie der Transformationsfunktion, welche in Abschnitt 4.5 erarbeitet wurden, kann man wiederum auf die Form der (diesmal geraden) rationalen Transformationsfunktion schließen [Ach70, Tab. XXII].

Sie erfüllt unter anderem auch die speziellen Werte $f(0;k)= 1$ und $f(1;k)= (− 1)n∕2$ . Aus dem Funktionswert $f(0;k)= 1$ ergibt sich die noch erwähnenswerte Beziehung:⁴⁹

4.9.3 Nullstellen (Koeffizienten), Pole und Extremwerte

Wie schon Abbildung 16 anschaulich zeigt, ist die Lage der Pole und Nullstellen (gegenüber ungeradem Grad $n$ ) entsprechend der Integrationskonstante $C$ um $Ω ∕2= M Λ$ , also für $u$ um $K ∕n$ verschoben (vgl. Wegabschnitte $○1$ und $○3$ ).

4.9.4 Beziehungen für die elliptischen Funktionen

Transformationsbeziehung für $sn$ Die Transformationsbeziehung für den elliptischen Sinus ist wieder direkt in Gleichung 140 enthalten, wenn man $x$ und $y$ durch die entsprechenden elliptischen Funktionen ersetzt.

Eine weitere interessante Darstellung der Transformationsbeziehung 129 ergibt sich auch hier mit Hilfe von Multiplikationsformel 47.

Transformationsbeziehung für $cn$ Ähnlich wie für den Fall eines ungeraden $n$ (vgl. Abschnitt 4.8.7) kann man auch hier vorgehen und erhält in Folge

Beweis. Auch diesmal kann man die Gleichung für $cn$ durch Betrachtung der Pole und Nullstellen herleiten (vgl. Abschnitt 4.8.7). Dazu geht man wieder von einem Ansatz aus, in welchem eigentlich nur ein Vorfaktor zu bestimmen ist.

4n−2 ( ) ∏ x − sn μKn-;k 1− y2 = cn2( u+ Λ; λ)= A2 ---μ=0,2,4,...---------------- M n−1 [ 2 2( K- ) 2]2 ν=∏1,3,5,... 1− k sn νn;k x

Wegen der Symmetrie des elliptischen Sinus um $K$ , d. h. $sn(K − u;k)= sn(K + u;k)$ sowie der Spiegelungsbeziehung $sn(2K − u;k) = − sn(2K + u;k)$ kann vorher noch das Produkt im Zähler reduziert werden. Löst man dabei außerdem die Faktoren für $μ = 0,n,2n$ und $3n$ heraus, so ergibt sich

Um den Vorfaktor $A$ nun zu bestimmen, kann man z. B. den Funktionswert für $x→ ∞$ heranziehen, welcher schon zu $y = 1∕λ$ ermittelt wurde.

Einsetzen des gerade ermittelten Vorfaktors führt zu einer ersten geschlossen Lösung

n−2 ∏ x2 − sn2(μ K;k) u- nλ-′∘ -----2 n−1 2( K- ) -μ=2,4,6,...---------n----- cn(M + Λ;λ) = − k λ x 1 − x ∏ sn νn ;k n−1 ( ) , ν=1,3,5,... ∏ 1− k2sn2 νKn;k x2 ν=1,3,5,...

welche allerdings nicht gerade übersichtlich ist. Mit Vorgriff auf die Berechnungsformeln für $λ$ und $M$ (Gleichungen 146 und 147) und deren Beziehung zueinander

n−1 n−2 λ-= (− 1)n2kn sn2(νK-;k) sn2(μ K;k) M ν=∏1,3,5,... n μ=∏2,4,6,... n

ist man in der Lage, eine etwas kürzere Form anzugeben.

n−2 ----x2--- λ ′∘ ------ μ=∏2,4,6,...1− sn2(μ K;k) cn( uM + Λ; λ)= −-x 1 − x2--n−1------------n------ M ∏ 1− k2sn2(νK-;k) x2 ν=1,3,5,... n

Transformationsbeziehung für $dn$ Die entsprechende Beziehung für $dn$ lautet:

Beweis. Auch hier geht man am besten wieder von den Nullstellen aus, welche entsprechend der Definition für die elliptische Delta-Amplitude dort liegen müssen, wo $sn(u∕M +Λ; λ)$ den Wert $1∕λ$ annimmt. Genau diese Stellen haben wir aber schon als Extremwerte des Funktionsverlaufes dieser Transformation erkannt. Sie liegen bei $x = ±k −1ns(μK ∕n;k) E$ mit $μ = 0,±2, ±4,...$ , was folgenden Ansatz für eine Linearfaktordarstellung rechtfertigt

Wieder berücksichtigen wir, daß $sn(u;k)$ eine ungerade Funktion mit der Halbperiode $2K$ ist und extrahieren außerdem den speziellen Wert $ns(μK ∕n;k)= ±1$ für die Indizes $μ = n,3n$ .

n− 2 [ ( )]2 ∏ x2− k−2ns2 μKn-;k dn2( u-+ Λ;λ) = B2(x2− k−2)μ=2,4,6,...------------------ M n− 1 [ 2 2( K- ) 2]2 ν=∏1,3,5,... 1− k sn νn;k x

Der Vorfaktor kann z. B. durch Einsetzen des Funktionswertes an der Stelle $u = 0$ , d. h. $y = f(0;k)= 1$ bestimmt werden.

Mit diesem Ausdruck für $B$ kann man nun die Transformationsbeziehung für $dn(u∕M + Λ;λ)$ konkretisieren.

4.9.5 Das Modul $λ$

Das Modul $λ$ kann auf den verschiedensten Wegen bestimmt werden, z. B. auch wieder aus der Eigenschaft der Invarianz von Differentialgleichung 69 für $x := 1∕kx$ und $y:= 1∕λy$ nach Formel 81.

Beweis. An dieser Stelle soll zur Abwechslung ein anderer, ebenfalls sehr einfacher Weg, beschritten werden. Dazu evaluiert man Transformationsbeziehung 140 am Extremwert $xE → ∞$ , wo bekanntlich $yE = 1∕λ$ gelten muß.

4.9.6 Der Multiplikator $M$

Beweis. Der Multiplikator $M$ kann diesmal nicht durch einfaches Einsetzen spezieller Werte ermittelt werden, da er in der rationalen Form 140 nicht auftaucht. Statt dessen wird hier die erste Ableitung der elliptischen als auch der rationalen Transformationsbeziehung herangezogen und mit deren Hilfe $M$ bestimmt. Zuerst wenden wir uns deshalb dem Ausgangsproblem der Transformationstheorie, nämlich Differentialgleichung 71 zu. Um einen relativ einfachen Lösungsweg zu beschreiten, konzentrieren wir uns dabei auf die Nullstellen $xm ∘$ bzw. $um ∘$ mit $u = mK ∕n = mM Λ ∘m$ ( $m$ ungerade).

′ ′ ---------1---------- y= f(x∘m;k)= ∘ -----2------22-- M (1 − x∘m)(1 − kx∘m )

Aus dieser Gleichung kann man, wenn $f ′(x∘m;k)$ bekannt ist, sofort den Parameter $M$ ermitteln.

M = -----------1----------- f ′(x∘m;k)cn(u∘m;k)dn(u∘m;k)

(148)

Die erste Ableitung der rationalen Transformationsbeziehung 140 kann durch logarithmische Differentiation gewonnen werden. Dazu seien vorab noch die folgenden Kurzformen vereinbart und ihre Ableitungen gebildet.

Es folgt die eigentliche Differentiation von

n−1 ln y= ln ∏ p-ν(x) ν=1,3,5,...q ν(x)

Setzt man jetzt die Nullstelle $x ∘m$ ein, dann verschwindet $p (x ) m ∘m$ und demzufolge (eigentlich) das ganze Produkt $n− 1 ∏ ν=1,3,5,...pν(x)∕qν(x)$ . Da in diesem Fall aber der Summenterm mit $μ = m$ eine behebbare Unbestimmtheit aufweist (Kürzen von $pm(x)$ im Produkt mit $pμ(x)$ im Nenner der Summe), verschwindet der Summenausdruck. Dabei gilt es $p′m (x∘m )= − 2∕x∘m$ zu berücksichtigen.

Durch Hinzunahme von Multiplikationsformel 47, kann man (ähnlich wie bei der Transformationsbeziehung) weiter vereinfachen zu:

Die Indizes $m − ν$ bzw. $m + ν$ durchlaufen, wenn man sie zusammenfaßt, alle geraden Werte von $m − (n− 1)$ bis $m+ (n− 1)$ , ausgenommen die Werte $0$ und $2m$ , für die $ν = m$ gilt. Mit etwas Vorstellungskraft für den Verlauf des elliptischen Sinus und den daraus generierten Nullstellen und Extremwerten ist offensichtlich, daß (abgesehen von den zwei genannten) alle Werte $μK ∕n$ (für gerades $μ$ ) einer Halbperiode des elliptischen Sinus’ durchlaufen werden. Der Produktterm im Zähler ist demzufolge auch darstellbar als