Die Gleichungen für komplexe Argumente ergeben sich relativ einfach aus den Additionstheoremen 40, 45, 46 und den Formeln 57, 59, 60 für rein imaginäre Argumente. Am Beispiel der elliptischen Delta-Amplitude soll dies kurz dargestellt werden.
Die Formeln für die zwei anderen elliptischen Basisfunktionen können in gleicher Art und Weise gewonnen werden.17
Zur Veranschaulichung dieser Erkenntnisse sind in den Abbildungen 6 und 7 die von Real- und Imaginärteil aufgespannten Flächen grafisch dargestellt.18
Aus Zähler und Nenner in den Beziehungen 62, 63 sowie 61 kann man direkt auf die entsprechenden Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen schließen. Tabelle 1 gibt einen Überblick zu deren Lage, wobei immer gelten soll.
In der Transformationstheorie der JACOBI’schen elliptischen Funktionen (siehe Abschnitt 4) sind insbesondere die Werte auf dem Gitter interessant. Hervorzuheben sind dabei die folgenden Beziehungen:
Beweis. Aus Gleichung 62 ergibt sich sofort
__
Beweis. Es handelt sich hierbei um einen weiteren Trivialfall von Gleichung 62 mit und .
__Insbesondere ergibt sich hieraus
| (66) |
und somit für das unvollständige elliptische Integral an der Stelle bezüglich Definitionsgleichung 5
Beweis. Dieser Fall ergibt sich aus dem vorherigen, indem man setzt.
__
Beweis. Aus dem Additionstheorem 61 kann man sofort ableiten
und dann mittels Definitionsgleichung 30 den Nachweis abschließen.
__
In Tabelle 2 sind die (insbesondere für die elliptischen Modultransformationen, vgl. Abschnitt 4) interessanten Beziehungen für den elliptischen Sinus zusammengefaßt.