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3.11 Komplexe Argumente

Die Gleichungen für komplexe Argumente ergeben sich relativ einfach aus den Additionstheoremen 40, 45, 46 und den Formeln 57, 59, 60 für rein imaginäre Argumente. Am Beispiel der elliptischen Delta-Amplitude soll dies kurz dargestellt werden.

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Die Formeln für die zwei anderen elliptischen Basisfunktionen können in gleicher Art und Weise gewonnen werden.17

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Zur Veranschaulichung dieser Erkenntnisse sind in den Abbildungen 6 und 7 die von Real- und Imaginärteil aufgespannten Flächen grafisch dargestellt.18


PIC (a) Realteil PIC (b) Imaginärteil

Abbildung 6: Eine Periode des elliptischen Sinus’ sn(α + jβ ;k)



PIC (a) Realteil PIC (b) Imaginärteil

Abbildung 7: Eine Periode der elliptischen Delta-Amplitude dn(α + jβ ;k)


Aus Zähler und Nenner in den Beziehungen 62, 63 sowie 61 kann man direkt auf die entsprechenden Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen schließen. Tabelle 1 gibt einen Überblick zu deren Lage, wobei immer γ,δ ∈ ℤ  gelten soll.


Tabelle 1: Pole und Nullstellen der elliptischen Basisfunktionen



Funktion Nullstellen Pole






sn (α + jβ;k)            ′
2γK +2jδ K                ′
2γ K+j(2δ + 1)K



cn(α + jβ;k)                 ′
(2γ+ 1)K +2jδ K ,′
2 γK +j(2δ + 1)K 2γ K+j(2δ + 1)K′



dn(α + jβ;k)  (2γ+ 1)K +j(2δ + 1)K′ 2γ K+j(2δ + 1)K′




In der Transformationstheorie der JACOBI’schen elliptischen Funktionen (siehe Abschnitt 4) sind insbesondere die Werte auf dem Gitter γK +jδK ′ interessant. Hervorzuheben sind dabei die folgenden Beziehungen:

sn(K + ju;k) = nd(u;k′)
(64)

Beweis. Aus Gleichung 62 ergibt sich sofort

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__

sn(u+ jK′;k) = k−1ns(u;k)
(65)

Beweis. Es handelt sich hierbei um einen weiteren Trivialfall von Gleichung 62 mit cn(β;k′)= 0  und sn(β;k′)= 1  .

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__

Insbesondere ergibt sich hieraus

sn(K +jK ′;k)= k−1
(66)

und somit für das unvollständige elliptische Integral an der Stelle     −1
x= k  bezüglich Definitionsgleichung 5

 (   )        ′
F 1k;k  = K+ jK .

sn(u+ K + jK ′;k)=  k−1nc(u;k)
(67)

Beweis. Dieser Fall ergibt sich aus dem vorherigen, indem man u:= u+ K setzt.

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__

dn(u + K +jK′;k)= jk′tanφ
(68)

Beweis. Aus dem Additionstheorem 61 kann man sofort ableiten

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und dann mittels Definitionsgleichung 30 den Nachweis abschließen.

                    sin φ
dn(u+ K + jK ′;k)= jk′-----= jk′tanφ
                    cosφ

__

In Tabelle 2 sind die (insbesondere für die elliptischen Modultransformationen, vgl. Abschnitt 4) interessanten Beziehungen für den elliptischen Sinus zusammengefaßt.


Tabelle 2: Elliptischer Sinus auf dem Gitter η K+j ζK ′




η ζ u sn(ηK +jζ K′+u; k)








gerade gerade imaginär (u = jν ) j(− 1)η∕2sc(ν;k′)




ungerade gerade imaginär (u = jν ) (− 1)η∕2nd(ν; k′)




gerade gerade reell (− 1)η∕2sn(u;k)




gerade ungerade reell (− 1)η∕2k−1ns(u;k)