Pole

4.2 Pole

Singularitäten, bei denen man von einem Pol der Ordnung $n$ spricht (ein- oder mehrfacher Pol), sind durch den endlichen Hauptteil

--a−-n-- --a−n+1--- --a−-2-- -a−1- h(z)= (z− z0)n + (z− z0)n−1 + ⋅⋅⋅+ (z− z0)2 + z− z0

gekennzeichnet.²⁴ Der Grund liegt in der Darstellungsmöglichkeit von $1∕f(z)$ durch $(z− z0)nψ(z)$ und demzufolge $−n f(z)= (z− z0) ϕ(z)$ mit $ϕ (z) = 1∕ψ(z)$ . Die Funktion $ϕ(z)$ ist bei $z0$ selbst analytisch, denn alle Pole sind entsprechend ihrer Vielfachheit aus $f(z)$ “herausgezogen” und im Faktor $(z− z0)−n$ enthalten. Deshalb kann $ϕ(z)$ um $z0$ in eine Potenzreihe entwickelt werden.²⁵

2 3 ϕ(z)= c0+ c1(z− z0)+ c2(z− z0) + c3(z− z0) + ⋅⋅⋅

Die LAURENT-Reihe für $f (z)$ erhält dadurch die Form:

d. h. der Hauptteil $h(z)$ umfaßt nur eine endliche Zahl von Koeffizienten $ak$ . Diese Eigenschaft ermöglicht die Berechnung des Residuums auf der Grundlage der folgenden Formel:

(n−1) res f (z) = ---1---lim d----[(z− z)nf(z)] . z0 (n− 1)!z→z0dzn−1 0

(28)

Die dahinter steckende Idee besteht darin, $f(z)$ nach Gleichung 27 durch Multiplikation mit $n (z− z0)$ zu einer Polynomfunktion zu machen und dann den Koeffizienten $a−1$ durch $n− 1$ -malige Ableitung zu extrahieren. Die Richtigkeit kann man einfach durch Einsetzen von $f(z)$ nachweisen.