Cauchy’s Integralformel

2.2 CAUCHY’s Integralformel

Als ein Resultat des Satzes von CAUCHY kann man jeden Wert $f (z)$ , wobei die Funktion $f$ in der Umgebung von $z$ analytisch sei, durch ein Kurvenintegral ausdrücken. Dazu definiert man einfach $f(z)∕(z− z0)$ als neue Funktion, welche im Punkt $z0$ nicht analytisch ist, und integriert auf einer den Punkt $z0$ einschließenden Kurve. Da sich der Integralsatz von CAUCHY nur auf Funktionen anwenden läßt, die im Inneren der Kurve $C$ analytisch sind, umgehen wir diese Widrigkeit wie in Abbildung 1 dargestellt. Dabei wird die Kurve $C$ zuerst in zwei halbkreisförmige Teilkurven $C1$ und $C2$ nach Teilbild 1a zerlegt.

∮ ∫ ∫ f-(z)-dz= f(z)-dz+ f-(z)-dz C z− z0 C1 z− z0 C2z− z0

(a) Offene Kurven (b) Geschlossene Kurven

Abbildung 1:

Integrationswege zur Herleitung von CAUCHY’s Integralformel

Danach werden $C1$ und $C2$ entsprechend Abbildung 1b separiert und als Kurven so geschlossen, daß jede für sich analytisch ist. Außerdem sollen sich beide Kurven aus dem originalen Stück des äußeren Halbkreises, bezeichnet mit $′ C1$ bzw. $′ C2$ sowie dem inneren Halbkreis (inklusive der waagerechten Teilstücke) $C1′′$ bzw. $C′′2$ zusammensetzen. Dann gilt nach CAUCHY’s Integralsatz 10:

∮ ∫ ∫ f-(z)- f(z)- -f(z)- Cν z− z0 dz= C′ν z− z0 dz+ C′′νz− z0 dz = 0, mit ν = 1,2

und deshalb

Mit der Substitution

kann man für jeden der Integralausdrücke auf den inneren Kurven

∫ ∫ ∫ f(z)-dz= j f-(z)rejθ dθ = j f(z0+ rejθ)dθ C′ν′z− z0 C′′νr ejθ C′′ν

schreiben. Lassen wir jetzt den Radius $r$ gegen Null gehen, d. h. betrachten den Wert auf $C ′′ν$ in der Umgebung von $z0$ :

∫ ∫ lim j f(z0+ rejθ)dθ = − j f(z0)dθ = − jf(z0) θ| ′′. r→0 C′′ν C′′ν Cν

Da sich die Integrale auf dem analytischen Teil der “glattgezogenen” Kurven $C′′ ν$ wegen der entgegengesetzten Richtung kompensieren, ergibt sich schlußendlich:

Ein ausschließlich rechnerischer Beweis ist folgendermaßen zu erbringen:

Der erste Summand stellt für $z→ z0$ eine hebbare Singularität dar (vgl. Abschnitt 4), d. h. der Grenzwert

lim f(z)−-f(z0)-= f′(z) z→z0 z− z0

existiert. Damit ist der Integrand eine analytische Funktion für $z→ z0$ und wegen des Satzes von CAUCHY das Integral

∮ f(z)−-f(z0)dz= 0 . C z− z0

Der zweite Summand ist mit der Substitution 11

∮ ∮ ∫ 2π f(z0) -dz--= jf(z0) dθ = jf(z0) dθ = 2πjf(z0) C z− z0 C 0

(12)

und somit

∮ f(z)-dz= 2πjf (z0). C z− z0

(13)

Benennt man noch die Variablen um ( $z0 := z$ und $z:= ξ$ ), dann erhält man die CAUCHY’sche Integralformel [BC03, 47].

∮ f(z)= -1- f-(ξ-)dξ 2πj Cξ − z

(14)

Bei der Interpretation fällt sofort die bemerkenswerte Eigenschaft einer analytischen Funktion (innerhalb von $C$ ) auf, daß der Funktionswert $f (z0)$ eindeutig durch die Randwerte auf der Kurve $C$ bestimmt ist.