Die Funktion (z−z0)n

1.4 Die Funktion $(z− z0)n$

Besondere Bedeutung für viele Beweise der komplexen Analysis hat die Funktion $n (z− z0)$ . Hier soll einmal mit Hilfe der CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen deren Holomorphiegebiet bestimmt werden.⁸ Wir gehen dazu von Gleichung 2 aus und bilden die partiellen Ableitungen nach $x$ und $y$ . Zur Vereinfachung soll die Exponentialdarstellung $z− z0 = rejθ$ verwendet werden, wobei berücksichtigt werden muß, daß eigentlich $r := r(x,y)$ und $θ := θ(x,y)$ gilt.

Für die Ableitung nach $y$ gibt es bis hierher keinen Unterschied, d. h.

∂ ( 1∂r ∂θ) ---(z− z0)n = n(z− z0)n ----+ j--- . ∂ y r∂y ∂y

Setzen wir jetzt (kurz) $z0 = 0$ und erarbeiten die Zusammenhänge zwischen den Differentialen der arithmetischen und der Exponentialform für $jθ z= x+ jy= re$ . Dazu soll von den bekannten Formeln

ausgegangen und dann die Ableitungen gebildet werden.

Jetzt können die so gewonnenen Ausdrücke eingesetzt werden, was mit $z0 = x0 + jy0$ zu

führt.⁹ Ähnlich wird mit der Ableitung nach $y$ verfahren, nur das gedanklich noch der Zwischenschritt der Substitution nach $jy$ auszuführen ist.

Schlußfolgerung: $n (z− z0)$ ist für positives $n$ an jeder Stelle $z$ analytisch, denn es gilt Gleichung 2 in der Form:

∂ ∂ ∂ --(z− z0)n = n(z− z0)n−1 = --(z− z0)n = -----(z − z0)n . ∂z ∂x ∂(jy)

Für den Fall $n< 0$ ist $f(z)$ jedoch nur für $z⁄= z0$ analytisch, denn beide Seiten der vorangegangenen Äquivalenz sind sonst unbestimmt. Ein sich daraus ergebendes Resultat, welches in Abschnitt 3 bewiesen wird, ist:

∮ ({ n 0 (n ⁄= − 1) C(z − z0) dz= ( 2πj (n = − 1) .