Funktionaldeterminante analytischer Funktionen

1.3 Funktionaldeterminante analytischer Funktionen

Nimmt man $f(z)$ als Abbildung des Vektors $T z= (x,y)$ auf $T f= (u,v)$ wahr, dann ist oftmals die Funktionaldeterminante (JACOBI-Determinante) von besonderem Interesse.⁶ Gerade für analytische Funktionen hat sie eine sehr einfache Lösung, welche sich ebenfalls aus den CAUCHY-RIEMANN’schen Differentialgleichungen ableitet.

| | || || ( )2 ( )2 ||∂(u,v)|| = ||ux uy ||= ∂-u⋅ ∂-v− ∂u-⋅ ∂v-= ∂u- + ∂v- = ||f′(z)||2 |∂(x,y)| |vx vy | ∂ x ∂ y ∂ y ∂x ∂x ∂x

Eine Schlußfolgerung ist die, daß für alle Punkte $z$ der komplexen Ebene, an denen $f′(z)$ eine Wert ungleich Null hat, die Funktionaldeterminante nicht verschwindet.⁷ Sollte $f′(z)$ in der Umgebung von $z$ außerdem noch stetig sein, dann existiert eine (eindeutige) Umkehrfunktion $z= ψ (f )$ für alle $f ∈ ℂ ∖{0}$ .