Anwendung von Jordan’s Lemma im Fall α ⁄= 0

Um JORDAN’s Lemma in seiner allgemeinen Form anzuwenden, wollen wir den Prozeß jetzt etwas umdrehen und zuerst eine komplexe Funktion $jαz w(z)= e f(z)$ definieren. Im nächsten Schritt soll versucht werden, das Integral $∮ C w(z)dz$ auf der geschlossenen Kurve $C = C∞ → Cx$ nach Abbildung 3 für den Grenzfall $r → ∞$ zu evaluieren.

wobei $zn$ wieder die Pole (isolierte Singularitäten) der Funktion $w(z)$ repräsentiert, kann man jetzt noch in Gleichungen für den Real- und Imaginärteil separieren.

Was hier als Ergebnis präsentiert wurde, hat (insbesondere Formel 60 betreffend) besondere Bedeutung für die inverse LAPLACE-Transformation [BC03, 81], [Sto92, 2.4.4], [Wun62, 2.22]. Unter anderem wird für die Voraussetzung $α > 0$ von JORDAN’s Lemma deutlich, daß sich das Konvergenzverhalten des rechtsseitigen Integrals wegen der abgeschwächten Forderung $limr →∞ f(z) = 0$ deutlich verbessert.

Die bis hierher gewonnenen Erkenntnisse bezüglich der Integration entlang der $x$ -Achse lassen sich auch auf den Weg entlang der $y$ -Achse entsprechend Abbildung 5 anwenden [Wun62, 2.32]. Da nach dem Lemma von JORDAN auch in diesem Fall das Integral auf dem Weg $C∞$ verschwindet (vgl. letzter Absatz in Abschnitt 6, wenn $α$ negativ-imaginär ist), wird das uneigentliche Integral mit Hilfe der Singularitäten in der linken Halbebene berechenbar.

Für die Fälle von JORDAN’s Lemma mit negativem $α$ (egal ob reell oder imaginär, vgl. Abschnitt 6) ist der entsprechende Weg $Cx$ bzw. $Cy$ negativ anzusetzen, wenn die ganze Kurve $C$ betrachtet wird. Aus diesem Grund sind entweder die Integrationsgrenzen oder das Vorzeichen des reellen/imaginären Integrals umzukehren.

Tabelle 2 gibt einen Überblick, was die Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von JORDAN’s Lemma betrifft. Interessant ist speziell für den Fall $α = 0$ , daß es danach eine Verbindung zwischen den Residuen der Pole in der oberen und unteren bzw. linken und rechten Halbebene gibt:

Tabelle 2:

Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von Residuen


$α$	Berechnungsvorschrift	Voraussetzung


pos.-reell	$∫ ∞ejαzf(z)dz= 2πj resz [ejαzf(z)] −∞ Im(∑zn)>0 n$	$lim f(z)=0 \|z\|→∞ Im(z)>0$

neg.-reell	$∫ ∞ −j\|α\|z [ −j\|α\|z ] −∞e f(z)dz=− 2πj ∑ reszn e f(z) Im(zn)<0$	$l\|zim\|→∞ f(z)=0 Im(z)<0$

pos.-imag.	$∫ [ ] j∞ e−\|α\|zf(z)dz= −2πj ∑ reszne−\|α\|zf(z) −j∞ Re(zn)>0$	$lim f(z)=0 R\|ze\|→(z∞)>0$

neg.-imag.	$∫ j∞ [ ] −j∞e\|α\|zf(z)dz=2πj ∑ reszn e\|α\|zf(z) Re(zn)<0$	$l\|zim\|→∞ f(z)=0 Re(z)<0$

$0$	$∫ ∞ f(x)dx= 2πj ∑ resznf(z) −∞ Im(zn)>0$	$lim zf(z)= 0 \|Imz\|(→z)∞>0$

$0$	$∫ ∞ −∞f(x)dx=− 2πjIm∑(z)<0resznf(z) n$	$\|lz\|im→∞ zf(z)= 0 Im(z)<0$

$0$	$∫ j∞ f(y)dy= −2πj ∑ resznf(z) −j∞ Re(zn)>0$	$lim zf(z)= 0 \|Rz\|e(→z)∞>0$

$0$	$∫ j∞ −j∞f(y)dy =2πj ∑ resznf(z) Re(zn)<0$	$\|lz\|im→∞ zf(z)= 0 Re(z)<0$

7.2 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall

7.2 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall $α ⁄= 0$