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7.1 Anwendung von JORDAN’s Lemma im Fall α = 0

7.1.1 Stetige Funktionen

Das Lemma von JORDAN in seiner allgemeinen Form nach Gleichung 33 ermöglicht (unter den angezeigten Voraussetzungen) die Berechnung von uneigentlichen Integralen durch komplexe Integration. Um das Prinzip zu verdeutlichen befassen wir uns zuerst mit dem (einfachen) Spezialfall nach Gleichung 40, welcher die Berechnung des Integrals

∫ ∞
    f(x)dx.
 − ∞

unter Umständen wesentlich vereinfacht.


PIC

Abbildung 3: Integrationsweg(e) für reelles α


Dazu soll auf dem geschlossenen Weg C = C∞ → Cx  nach Abbildung 3 unter Zuhilfenahme des Residuensatzes integriert werden. Nun lassen wir r → ∞ laufen, was die Residuen aller Singularitäten zn  in der oberen komplexen Halbebene (Im(zn)> 0  ) adressiert.

    ∮                                ∫          ∫ ∞
 lim   f(z)dz= 2πj  ∑   resznf(z)= lim     f(z)dz+    f(z)dz
r→∞  C            Imzn>0          r◟→∞--C∞◝◜----◞    −∞
                                       0
(41)

Mit JORDAN’s Lemma erhält man als Berechnungsvorschrift:

∫
  ∞ f(x)dx = 2πj      res f(z).
 − ∞            Im(∑z)>0   zn
                   n
(42)

Das Integral ∫
 ∞−∞ f(x)dx kann also einzig und allein basierend auf der Kenntnis der Residuen (an den Singulärstellen zn  , die oberhalb der reellen Achse liegen) berechnet werden.

Voraussetzungen für die Anwendbarkeit Notwendige Bedingungen für die Anwendbarkeit von Formel 42 sind:

Kann man sogar absolute Konvergenz, d. h. ∫∞
 −∞ |f(x)|dx< ∞ nachweisen, dann ist wegen

||∫ ∞       ||  ∫ ∞
|    f(x)dx|≤     |f(x)|dx< ∞
| −∞       |   −∞
(43)

der letzte Punkt der notwendigen Bedingungen (gewöhnliche Konvergenz) grundsätzlich erfüllt [WW27, § 4⋅43  ].

Die Eigenschaft der absoluten Konvergenz kann für ganz bestimmte Klassen von Funktionen generell nachgewiesen werden, wovon eine z. B. die mit der “Abkling”-Charakteristik

pict

ist [GKH+  79, 20.2]. Wir betrachten also die Beschränktheit von  σ
|x f (x)| unter der Maßgabe, daß sich eine Zahl σ (x)> 1  (wie gefordert) für jeden Wert x > α finden läßt. Ist dem so, dann gilt im offenen Intervall α > 0  die Relation

∫                ∫
  ∞ |f(x)|dx≤ lim   rMx− σdx
 α           r→∞  α

und mit

   ∫                           |r
lim   rMx −σdx = M lim  --1--x1−σ|| =  -M---lim (r1−σ − α1 −σ)= -M---α1−σ
r→ ∞ α             r→∞ 1− σ     |α   1− σ r→ ∞                σ − 1

kann die absolute Konvergenz entlang des positiven Teils der reellen Achse (x > 0  ) nachgewiesen werden.33

∫ ∞          -M---      1−σ
 +0|f(x)|dx ≤ σ − 1αl→im+0 α    < ∞

Gleichzeitig wird die Bedingung von JORDAN’s Lemma erfüllt, denn:

               |         |
lim |zf(z)|=  lim |z1−σf (z)zσ|≤ M  lim |z|1−σ = 0.
z→ ∞        z→∞                 z→ ∞

In ähnlicher Art und Weise ist bei exponentiell abfallenden Funktionen die absolute Konvergenz dadurch gegeben, daß sie (wenn eine Zahl σ (x)> 1  existiert) für |x|→  ∞ die Ungleichung   σ|x|
|e   f(x)|≤ M  < ∞ erfüllen.34 Denn setzt man diese Relation in Ungleichung 43 ein

∫             ∫
  ∞ |f(x)|dx ≤   ∞M e− σ|x| dx
  −∞           −∞

und löst das rechtsseitige Integral auf,

∫ ∞    −σ|x|        ∫ ∞ −σx       M      −σx|T   M (        − σT)   M
    M e    dx = 2M    e    dx= − σ-Tli→m∞e   |0 = σ- 1 − lTim→∞ e     = σ-
 −∞                 0

so wird die Beschränktheit des Ergebnisses erkennbar.

||∫ ∞       ||
||   f(x)dx||≤ M- < ∞
 − ∞          σ

7.1.2 Gebrochen rationale Funktionen

Speziell für gebrochen rationale Funktionen ist es durch Hinzunahme von Beziehung 30 möglich, noch folgende Vereinfachung anzugeben (vorausgesetzt alle Pole sind von erster Ordnung):

∫ ∞
    p(x)dx = 2πj  ∑    p(zn).
 − ∞q(x)        Im(zn)>0 q′(zn)

Die Bedingung limr→ ∞zf(z)= 0  kann man bei (echt) gebrochen rationalen Funktionen dahingehend konkretisieren, daß der Grad des Nennerpolynoms q(x)  um mindestens zwei größer als der des Zählerpolynoms p (x)  sein muß.

7.1.3 Halbanalytische35 Funktionen

Oben halbanalytische Funktionen Für eine in der oberen komplexen Halbebene analytische Funktion f(z)  kann man unter bestimmten Voraussetzungen jeden Funktionswert im Gebiet Im (z) > 0  durch Integration entlang der reellen Achse berechnen. Dazu soll (wie bei der Herleitung von CAUCHY’s Integralformel 14) eine neue Funktion

       f(z)
g(z)= -----
      z− z0
(44)

definiert sein, für die wir zunächst das Residuum an der (einzigen) Singularität z0  bestimmen (vgl. Formel 29).

                               [           ]
resz0g(z) = lim [(z− z0)g(z)]= lim  (z− z0)-f(z)  = f(z0)
          z→z0              z→z0       z− z0

Einsetzen in den Ausgangspunkt des allgemeinen Falls (α = 0  ) nach Gleichung 41 führt mit dem Integrationsweg laut Abbildung 3 zu:

   ∮                       ∫          ∫            ∫
lim    g(z)dz = 2πjf(z) = lim    g(z)dz+   ∞ f-(z)-dz=   ∞ -f(x)dx .
r→ ∞ C              0    r→ ∞ C∞         −∞ z− z0     − ∞x− z0
                        ◟----◝0◜----◞

Im Ergebnis erhält man CAUCHY’s Integralformel in der Halbebene Im (z) > 0
    0  nach [BC03, 119].36

        1 ∫ ∞  f(x)
f(z0) = ---    -----dx,    Im (z0)>  0
       2πj − ∞x− z0
(45)

Rechts halbanalytische Funktionen Sollte f(z)  entgegen der bisherigen Ausführungen im Gebiet Re (z0)> 0  analytisch sein, dann integriert man auf einem Halbkreis in der rechten Halbebene entsprechend Abbildung 5. Die einzige Singularität z0  liegt (wieder) innerhalb der Kurve C = Cy → C∞ und hat, nimmt man CAUCHY’s Integralformel 13 sowie Gleichung 21 zu Hilfe,37 das Residuum

           1  ∮  f(z)
resz0g(z)= ---   -----dz = f(z0) .
          2πj  Cz− z0

Nach dem Residuensatz (und bei Anwendung von JORDAN’s Lemma für den Fall eines positiv imaginären α , vgl. Abschnitt 6) ergibt sich daraus

∫           ∫              ∫
   -f(z)       -f(z)         j∞ -f(z)-            -f(z)
 C∞z− z0 dz− Cyz − z0 dz= − −j∞z− z0 dz = 2πjresz0z− z0 = 2πjf(z0)

und somit für den Funktionswert an der Stelle z0  :

            ∫ j∞
f(z0)= − -1-     f-(z)-dz,    Re(z0)> 0.
         2πj  −j∞ z− z0
(46)

Nimmt man noch die Ersetzung z = jy vor, so läßt sich die Integration entlang der imaginären Achse auf eine reelle Integrationsvariable abbilden (siehe auch Tabelle 1).

            ∫
         1-- ∞ -f(jy)-
f(z0)= − 2π  −∞jy− z0 dy,   Re(z0)> 0
(47)

Abhängigkeit zwischen Real- und Imaginärteil Gehen wir jetzt nocheinmal zum Fall Im(z0)> 0  , d. h. in die obere Halbebene zurück und betrachten Formel 45 mit Blick auf die Lage von z0  .38 Nehmen wir (im Gegensatz zu den bisherigen Ausführungen) an, der Punkt z0  läge in der unteren Halbebene und bezeichnen ihn der besseren Unterscheidbarkeit wegen mit z1 = x1 +jy1  . Aufgrund des Fehlens von Singularitäten innerhalb der Kurve C (siehe Abbildung 3, f ist in der oberen Halbebene als analytisch vorausgesetzt), muß nach dem Satz von CAUCHY das Integral

∮           ∫ ∞
   f(z)-dz=     -f(x)dx = 0
 C z− z1     − ∞x− z1

verschwinden. Bringt man diese Gleichung in Zusammenhang mit dem Punkt z0  nach Formel 45 auf einen gemeinsamen Nenner,

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so läßt sich aus der rechtsseitigen39 Beziehung die Äquivalenz

   ∫ ∞                       ∫ ∞
-1-    ----xf(x)----dx = -1-    ----z0f(x)--- dx
2πj −∞ (x− z0)(x − z1)    2πj  −∞(x− z0)(x− z1)
(48)

ermitteln. Deshalb kann man für den Funktionswert an der Stelle z
 0  schreiben:

pict

Wählt man den Punkt z1  jetzt noch (gezielt) als Spiegelung von z0  an der reellen Achse (z1 = x0− jy0 = z∗0  ), so ergibt einfaches Einsetzen

           ∫ ∞       ∗              ∫ ∞        ∗
f (z0)=  -1-    -(z0−-z0)f(x)-dx = -1-    -(z0−-z0)f(x)-dx,
        2πj −∞ (x− z0)(x− z∗0)     2πj − ∞(x− z0)(x − z0)∗

was zu folgenden Berechnungsformeln für f (z0)  führt [BC03, 119]:

       1 ∫ ∞ y f(x)      1 ∫ ∞ (x− x )f(x)
f(z0)= --    -0----2 dx= --    -----0--2--dx,    y0 > 0 .
       π  −∞ |x − z0|     πj −∞   |x − z0|
(49)

Durch Einsetzen von f(x+ jy)= u(x,y)+ jv(x,y)  lassen sich außerdem die Darstellungsformen

pict

gewinnen, wobei die Realteil-Beziehung auch POISSON’s Integralformel für die Halbebene genannt wird.40 Durch getrennte Betrachtung von Real- und Imaginärteil erhält man daraus die Formeln

pict

welche durch Einsetzen in 50 und 51 die Berechnung des Funktionswertes f(z0) = u(x0,y0)+ jv(x0,y0)  aus den Randwerten nur einer Komponente ermöglichen.

pict

Letztere Beziehungen eröffnen in Verbindung mit Gleichung 5 außerdem die Möglichkeit der Differentiation von f(z)  an jeder Stelle z
 0  mit Im(z )> 0
    0  ausgehend von den Randwerten nur einer Komponente.41

           ∫ ∞    [      ]        ∫ ∞
df(z0)= -1     ∂--- u(x,0)- dx=  1-    -u(x,0)--dx
 dx0    πj  −∞ ∂x0  x− z0       πj −∞ (x− z0)2
(55)


Tabelle 1: Berechnungsformeln für halbanalytische Funktionen




Bedingung
f(z)=








|liz|→m∞f(z)=0
Im(z)>0  -1-∫ ∞ f(ξ)
2πj−∞ ξ− zdξ 1-∫ ∞ yf(ξ)
π −∞ |ξ − z|2 dξ -1∫ ∞ Re[f(ξ)]-
πj −∞  ξ− z dξ
   ∫ j∞
−-1    f(jξ)-dξ
 2π −j∞jξ− z   ∫ ∞
1-   (ξ−-x)f(ξ2)dξ
πj −∞  |ξ − z|   ∫ ∞
1-   Im[f(ξ)]dξ
π  −∞  ξ− z




|liz|→m∞f(z)=0
Im(z)<0    1 ∫ ∞ f(ξ)
−2πj   ξ-− zdξ
     −∞  1 ∫ ∞ yf(ξ)
−π-   |ξ−-z|2 dξ
    −∞   1 ∫ ∞ Re[f(ξ)]
− πj   -ξ-− z-dξ
     −∞
1-∫ j∞ f(jξ)dξ
2π −j∞ jξ − z −-1∫ ∞ (ξ-− x)f(ξ)dξ
 πj −∞  |ξ− z|2 1-∫ ∞ Im[f(ξ)]dξ
π  −∞  ξ− z




 lim f(z)=0
|z|→ ∞
Re(z)>0      ∫
−-1- j∞ f(ξ)-dξ
 2πj −j∞ ξ− z   ∫
1- ∞ xf(jξ)-dξ
π −∞ |jξ− z|2    ∫
− 1- ∞ Re[f(jξ)]dξ
  π −∞  jξ − z
  1∫ ∞ f(jξ)
−2π −∞ jξ-− zdξ   1∫ ∞ (ξ − y)f(jξ)
−πj −∞ -|jξ-− z|2-dξ  1∫ ∞ Im [f(jξ)]
πj −∞ -jξ− z-dξ




|liz|→m∞f(z)=0
Re(z)<0  -1-∫ ∞ f(ξ)
2πj−∞ ξ− zdξ  1-∫ ∞-xf(jξ)
−π  −∞|jξ− z|2 dξ 1-∫ ∞ Re[f(jξ)]
π  −∞  jξ− z dξ
  ∫ ∞
1-   -f(jξ)dξ
2π −∞jξ− z   ∫ ∞
1-   (ξ−-y)f(jξ2-)dξ
πj −∞  |jξ− z|     ∫ ∞
− 1-   Im[f(jξ)]dξ
  πj −∞ jξ− z





Grenzfälle

  1. Sollte JORDAN’s Lemma wegen limr →∞ f(z) ⁄= 0  einmal nicht anwendbar sein, dann muß das Integral ∫  f (z)∕(z− z) dz
 C∞          0 für r → ∞ berücksichtigt werden. Nehmen wir beispielhaft den Fall der rechtsseitig halbanalytischen Funktionen, dann hilft die Substitution z− z0 = rejθ  mit dz= jrejθ dθ weiter.
    pict

    Für den Spezialfall f(z)= 1  kann man durch formales Einsetzen

    pict

    das uneigentliche Integral

    ∫ j∞   dz
    ----- = − jπ,   x0 > 0
 −j∞z− z0
    (56)

    ermitteln und dadurch auch ∫        −1
 C∞(z− z0)  dz = jπ für Re(z0) > 0  verifizieren.

  2. Alle Ausführungen zu analytischen Funktionen in der rechten Halbebene haben sich bisher auf Funktionswerte mit Re (z0) > 0  beschränkt. Interessant z. B. für den Zusammenhang zwischen der FOURIER- und LAPLACE-Transformation sind aber auch die Funktionswerte auf der imaginären Achse Re (z0)→  0  . Dazu soll die Funktion f(z)∕(z− z0)  auf dem Integrationsweg entsprechend Abbildung 4 betrachtet werden.


    PIC
    Abbildung 4: Integrationsweg mit Singularität auf imaginärer Achse


    Wegen der Holomorphieeigenschaft in der rechten Halbebene muß nach dem Satz von CAUCHY folgendes gelten:

    ∫        [∫ j(y0−ε)  ∫ j∞     ∫  ]
   − lim         +       +     = 0 .
 C∞  ε→∞   −j∞      j(y0+ε)   Cε

    Das Integral auf dem Weg C∞ verschwindet nach JORDAN’s Lemma für r → ∞ , wenn limr→ ∞f(z)= 0  angenommen werden kann. Die beiden Teilintegrale auf dem geraden Integrationsweg entlang der imaginären Achse stellen für ε → 0  genau einen CAUCHY’schen Hauptwert dar, was ihre Zusammenfassung ermöglicht.

        ∫ j∞ f(z)          ∫   f(z)
V. P. −j∞ z−-z-dz= − lεim→0 C z-− z dz
            0            ε    0
    (57)

    Mit der Substitution          jθ
z− z0 = εe  , welche die gewünschte Integrationskurve verkörpert, nimmt das Integral auf dem Weg C ε  die Darstellung

    ∫             ∫ π  (         )
    f(z)-dz= j  2 f z0+ ε e− jθ  dθ
 Cε z− z0       − π2

    an. Bildet man den Grenzwert ε → 0  , so geht es (Stetigkeit von f bei z0  vorausgesetzt) in

        ∫                 ∫ π
lim    f-(z)-dz= jf(z0)  2 dθ = jπ f(z0)
ε→0  Cεz− z0           − π2
    (58)

    über, was sich auch als Spezialfall von CAUCHY’s Integralformel 13 deuten läßt.42 Einsetzen in unser Zwischenergebnis 57 ergibt:43

        ∫ j∞  f(z)
V.P.    z−-z-dz = − jπf (z0)
     −j∞     0

    und deshalb

             j    ∫ j∞  f(z)      j    ∫ ∞ f(jy)
f(jy0)= --V.P.    ------dz=  -V.P.    -----dy
        π      −j∞ z− jy0     π     −∞ y− y0
    (59)

    für Punkte auf der imaginären Achse. Im Vergleich mit den für Re(z0)> 0  gültigen Beziehungen (insbesondere dem Äquivalent zu 49 in Tabelle 1) läßt sich feststellen, daß der Grenzübergang

               j     ∫ ∞ (y − y0)f(jy)     j∫ ∞  f(jy)
lxi→m0 f(z0) = π-lxim→0     -|jy-−-z|2--dy=  π-   y−-y- dy,   Re (z0) ≥ 0
 0            0   −∞       0           − ∞    0

    genau mit dem Ergebnis für Re (z0) = 0  übereinstimmt.

  3. Auf der Grundlage von Formel 59 kann man zeigen, daß Real- und Imaginärteil einer rechts halbanalytischen Funktion (entlang der imaginären Achse) über die HILBERT-Transformation verknüpft sind [Bra03, 13].44 Die Behauptung ist unmittelbar zu verifizieren, wenn man f (jy0)  in Real- und Imaginärteil separiert
                             ∫ ∞                ∫ ∞
u(0,y0)+ jv(0,y0)= − 1-V.P.    v(0,y)dy + j-V.P.   u(0,y)dy
                   π      −∞ y− y0     π     − ∞y − y0

    und beide Seiten der Gleichung betrachtet.

    pict

Voraussetzungen für die Anwendbarkeit Eine wesentliche Voraussetzung für das Verschwinden des Integrals auf dem Integrationsweg C ∞ nach Abbildung 3 war nach dem Lemma von JORDAN: limr →∞ zg(z) = 0  . Für Funktionen, die in einer Halbebene uneingeschränkt analytisch sind, reduziert sich die Forderung allgemein auf

    |      |      |       |
 lim ||z f-(z)-||= lim ||--f(z)-||=  lim  |f (z)|= 0 .
|z|→ ∞| z− z0|  |z|→∞|1 − z0∕z|   |z|→ ∞

Zu beachten ist dabei, daß |z|→ ∞ je nach Verlauf des halbkreisförmigen Integrationsweges noch mit einer anderen Bedingung, den Real- oder Imaginärteil von z betreffend, zu kombinieren ist (vgl. Tabelle 1).

Weitere Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Berechnungsformeln bestehen darin, daß f(z)  auf dem jeweiligen Integrationsweg analytisch (sowie beschränkt) und das zugeordnete Integral konvergent sein muß (siehe auch Abschnitt 7.1.1).