Wesentliche Singularitaten

4.3 Wesentliche Singularitäten

Wesentliche Singularitäten sind solche, die weder hebbar noch ein Pol sind [Nee97, 6-VIII], [FB00, III-4.3]. Der Hauptteil $h(z)$ solcher Funktionen hat die Form

∞ h(z)= ∑ --a−k---, k=1(z− z0)k

d. h. alle Koeffizienten $a −k$ existieren (und zwar unendlich viele). Das Residuum an der Stelle $z0$ ist für diesen Typ von Funktion üblicherweise mittels Integrationsformel 21 zu bestimmen (wie z. B. für $e(1−z)−1$ an der Stelle $z0 = 1$ ).

Besitzt eine Funktion $f(z)$ keine wesentlichen Singularitäten,²⁸ dann muß das Produkt $n (z− z0) f(z)$ die Hebbarkeitsbedingung

n lz→imz0(z− z0)f(z)= 0

für irgendeine Zahl $n∈ ℕ$ erfüllen. Bei hebbaren Singularitäten stellt man fest, daß es sich mit $n = 1$ genau um Formel 26 handelt, bei Polen läßt sich diese Bedingung aus Darstellung für $f(z)$ entsprechend Gleichung 27 ableiten.