LIOUVILLE’s Satz soll hier, etwas anders als z. B. in [WW27, § ], in drei Schritten hergeleitet werden.
Geht man der besseren Vorstellung halber von einem Integrationsweg in Parameterdarstellung aus, d. h. und , dann ist
wobei letzter Ausdruck genau die Bogenlänge der Kurve darstellt. Ist wie vorausgesetzt auf dem gesamten Integrationsweg analytisch und beschränkt, dann gilt für den Betragswert des Integrals [WW27, § ], [BC03, 41]:
Anwendung von Ungleichung 31 führt mit der Länge und der Abkürzung zu
Sei analytisch und beschränkt mit für alle (sogar für , also eine ganze Funktion), dann ist eine Konstante.
Der Beweis steckt in Ungleichung 32, denn dort heißt es für
Läßt man nun gehen um die gesamte komplexe Ebene einzuschließen, so gilt (unter der wesentlichen Voraussetzung, daß überall beschränkt sei):
d. h. ist konstant.
Interessant ist im Umkehrschluß, daß jede nicht-konstante analytische Funktion Singularitäten besitzen muß. Ansonsten wäre sie entweder nicht beschränkt oder nicht analytisch, würde also die Voraussetzungen nicht erfüllen.
Noch zwei Bemerkungen zum Satz von LIOUVILLE, die seine Bedeutung unterstreichen sollen:
d. h. der Betrag des Funktionswertes im Punkt ist immer kleiner oder gleich dem größten Betragswert von auf dem Kreis mit (irgendeinem) Radius um .