Endliche Korper

2.2 Endliche Körper

2.2.1 Definition

Jeder endliche Körper ist durch eine beschränkte Anzahl von Elementen gekennzeichnet, auf welche die Körperaxiome von Abschnitt 1.3 zutreffen. Man nennt solche algebraischen Strukturen auch GALOIS-Körper und bezeichnet sie mit $Fq$ oder $GF(q)$ , wobei $q$ die Ordnung (Anzahl der Elemente) des Körpers angibt.¹⁶ Bei der Konstruktion eines endlichen Körpers ist von allergrößter Bedeutung, daß zu den Eigenschaften eines Ringes noch die der multiplikativen Gruppe kommen. Zusätzliches Kriterium ist danach die Existenz des multiplikativ inversen Elements $r−1$ zu jedem $r ∈ F∗q$ .

2.2.2 Ordnung

Definiert $q$ die Anzahl der Elemente im Körper, d. h. inklusive Nullelement $e (+)$ , dann muß für die Ordnung der multiplikativen Gruppe $F ∗:= F ∖{0} q q$ gelten:

|F∗q|= q− 1.

(2.16)

Entsprechend Abschnitt 2.1.3 muß die Ordnung der multiplikativen Gruppe ein Vielfaches der Elementeordnung $k= |r|$ sein: $|F∗q|= ik$ (Satz von LAGRANGE). Ein GALOIS-Körper kann deshalb nicht jede beliebige Ordnung annehmen – wegen vorgenannter Bedingung müssen $q = |F ∗|+ 1 q$ und die Ordnung $k$ eines jeden Elements $r ∈ F∗ q$ teilerfremd sein.¹⁷

Diese Erkenntnis läßt sich (einerseits logisch, aber auch rein analytisch) aus

mit Hilfe des Satzes von BéZOUT ableiten. Dazu vergleicht man Beziehung 42 mit Formel 4.3 aus Abschnitt 4.1.1 und stellt fest:

Die einfachste Möglichkeit Teilerfremdheit zu gewährleisten, ist die Wahl von $q$ als Primzahl oder als Potenz einer Primzahl. Im ersten Fall nennt man $Fp$ einen Primzahlenkörper, für $n q= p$ einen Erweiterungs- oder Binärkörper (weitere Ausführungen zu $Fpn$ in Abschnitt 3.4).

2.2.3 Elemente als Nullstellen

Aus Abschnitt 2.1.5 (Gleichung 2.14) ist bekannt, daß man die Elemente der multiplikativen Gruppe $F ∗ q$ als Nullstellen des Polynoms $φ(x)= xq−1− 1$ auffassen kann. Nimmt man jetzt noch das Nullelement $e = 0 (+)$ hinzu, dehnt also die Betrachtung von der multiplikativen Gruppe auf alle Elemente des Körpers aus, dann kann man als zusätzlichen Linearfaktor $x − 0$ einbeziehen:

q ψ (x) = xφ(x)= x − x = ∏r∈F (x− r). q

(2.19)

Deshalb bilden die Nullstellen von $xq− x= x(xq−1− 1)$ einen endlichen Körper $Fq$ .